NPUCTF2020-共模攻击

2022-04-01

题目叫做共模攻击，但实际上考察的更多是copper。

# hint.py
from gmpy2 import *
from Crypto.Util.number import *
from secret import hint

m = bytes_to_long(hint)
p = getPrime(256)
c = pow(m, 256, p)
print(p)

p, q = getPrime(256), getPrime(256)
n = p * q
e1, e2 = getPrime(32), getPrime(32)
c1, c2 = pow(c, e1, n), pow(c, e2, n)
print(n)
print(e1, c1)
print(e2, c2)

'''
107316975771284342108362954945096489708900302633734520943905283655283318535709
6807492006219935335233722232024809784434293293172317282814978688931711423939629682224374870233587969960713638310068784415474535033780772766171320461281579
2303413961 1754421169036191391717309256938035960912941109206872374826444526733030696056821731708193270151759843780894750696642659795452787547355043345348714129217723
2622163991 1613454015951555289711148366977297613624544025937559371784736059448454437652633847111272619248126613500028992813732842041018588707201458398726700828844249
'''

# task.py
from gmpy2 import *
from Crypto.Util.number import *
from secret import flag

flag = flag.strip(b"npuctf{").strip(b"}")
m = bytes_to_long(flag)

p, q = getPrime(512), getPrime(512)
n = p * q
e1, e2 = p, q
c1, c2 = pow(m, e1, n), pow(m, e2, n)

print(n)
print(c1)
print(c2)

'''
128205304743751985889679351195836799434324346996129753896234917982647254577214018524580290192396070591032007818847697193260130051396080104704981594190602854241936777324431673564677900773992273463534717009587530152480725448774018550562603894883079711995434332008363470321069097619786793617099517770260029108149
96860654235275202217368130195089839608037558388884522737500611121271571335123981588807994043800468529002147570655597610639680977780779494880330669466389788497046710319213376228391138021976388925171307760030058456934898771589435836261317283743951614505136840364638706914424433566782044926111639955612412134198
9566853166416448316408476072940703716510748416699965603380497338943730666656667456274146023583837768495637484138572090891246105018219222267465595710692705776272469703739932909158740030049375350999465338363044226512016686534246611049299981674236577960786526527933966681954486377462298197949323271904405241585
'''

利用共模攻击可以还原hint.py中的信息：

from sympy.ntheory.residue_ntheory import nthroot_mod
from gmpy2 import invert
from Crypto.Util.number import *

def gongmogongji(n: object, c1: object, c2: object, e1: object, e2: object) -> object:
    def egcd(a, b):
        if b == 0:
            return a, 0
        else:
            x, y = egcd(b, a % b)
            return y, x - (a // b) * y
    s = egcd(e1, e2)
    s1 = s[0]
    s2 = s[1]


    # 求模反元素
    if s1 < 0:
        s1 = - s1
        c1 = invert(c1, n)
    elif s2 < 0:
        s2 = - s2
        c2 = invert(c2, n)
    m = pow(c1, s1, n) * pow(c2, s2, n) % n
    return m

e1 = 2303413961
c1 = 1754421169036191391717309256938035960912941109206872374826444526733030696056821731708193270151759843780894750696642659795452787547355043345348714129217723
e2 = 2622163991
c2 = 1613454015951555289711148366977297613624544025937559371784736059448454437652633847111272619248126613500028992813732842041018588707201458398726700828844249
n = 6807492006219935335233722232024809784434293293172317282814978688931711423939629682224374870233587969960713638310068784415474535033780772766171320461281579
c = gongmogongji(n,c1,c2,e1,e2)
p = 107316975771284342108362954945096489708900302633734520943905283655283318535709
# c为要开根的数，p为模数，256为指数
m = nthroot_mod(c,256,p,all_roots=True)
for i in m:
    print (i)
    hint = long_to_bytes(i)
    print (hint)
# b'm.bit_length() < 400'

m的位长度小于400，这个信息暗示后续可能会用到copper。

task.py推导：

$c1\equiv m^p (modn)$ $c2\equiv m^q (modn)$ $c1 modp=m$

c2和c1同理。

$(c1-m)(c2-m)=k1k2m$ $c1c2-m(c1+c2)+m^2=k1k2n$ $c1c2-m(c1+c2)+m^2 \equiv0(modn)$

知道m的位数，这里就可以用copper。

sage脚本：

n = 128205304743751985889679351195836799434324346996129753896234917982647254577214018524580290192396070591032007818847697193260130051396080104704981594190602854241936777324431673564677900773992273463534717009587530152480725448774018550562603894883079711995434332008363470321069097619786793617099517770260029108149
c1 = 96860654235275202217368130195089839608037558388884522737500611121271571335123981588807994043800468529002147570655597610639680977780779494880330669466389788497046710319213376228391138021976388925171307760030058456934898771589435836261317283743951614505136840364638706914424433566782044926111639955612412134198
c2 = 9566853166416448316408476072940703716510748416699965603380497338943730666656667456274146023583837768495637484138572090891246105018219222267465595710692705776272469703739932909158740030049375350999465338363044226512016686534246611049299981674236577960786526527933966681954486377462298197949323271904405241585

PR.<m> = PolynomialRing(Zmod(n))#modn的多项式环
f = m^2-(c1+c2)*m+c1*c2
x0 = f.small_roots(X=2^400)
print(x0)